已知O是△ABC的内一点,求证O是△ABC的重心的充要条件是OA+OB+OC=0

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/10 21:32:38
向量解法

必要性证明：设O为重心，E为BC中点。

OA=（2/3）EA==（2/3）（EB+BA）==（2/3）（CB/2+BA）＝（CB+2BA）/3

同理，OB＝（AC+2CB）/3.OC＝（BA+2AC）/3.

CA+OB+OC＝（3CB+3BA+3AC）/3＝CC＝0.

充分性证明：如图：OA＝｛-x,-y｝.OB＝｛a-x.-y｝.OC＝｛b-x,c-y｝.

OA+OB+OC＝｛-x+a-x+b-x,-y-y+c-y｝＝0

-x+a-x+b-x=0.x=（a+b）/3.,-y-y+c-y=0,y＝c/3.即O（（a+b）/3,c/3）

请  564663878 朋友 自己验证。O（（a+b）/3,c/3）正是⊿ABC的重心。

已知,P是三角形ABC内的一点,连接PB,PC.求证<BPC><A? 已知:P是三角形ABC内任意一点,求证:AB+BC+AC大于PA+PB+PC 已知G是三角形ABC内一点。求证：向量GA+向量GB+向量GC=0是G为三角形ABC的重心的充要条件。 已知：如图，三角形ABC内接于圆O、AE是圆O的直径，CD是三角形ABC中AB边上的高。求证：AC.BC=AE.CD 已知△ABC内接于圆O,AD⊥BC于D,E为弧BC的中点.求证:∠EAO=∠EAD △ABC中,已知AM是BC边的中线,O为AM上的任意一点，BO的延长线交AC于D，CO的延长线交AB于E,求证： ED//BC 已知等边三角形ABC边长是1，设P为三角形内的一点，且PA+PB+PC=L，求证：根号3小于等于L小于2 已知一个点D是三角形ABC内一点连接点BC，求证：AB+AC大于BD+CD. 在△ABC中,∠ABC=90°,点O是△ABC内一点,且S△OAB=S△OBC=S△OCA 求证:OA2+OB2=5OC2 已知等边三角形ABC及平面内不在三角形边上的任意一点P,求证：PA+PB>PC