证明:秩为r的矩阵可表示为r个秩为1的矩阵之和

这个题目比较简单
我们设矩阵的阶数是n
那么它的秩为r，设X1,X2,X3,..Xr是它的极大无关组
那么我们知道X（r+1),...Xn都是可以由上面线性表式出来的
把它们写出来就后
那么利用矩阵的拆分可以知道它可以由r个秩为1的矩阵之和表示

秩为r的矩阵表示成向量的形式 [A1 A2 A3....Ar...AN],不妨射前r个线形无关,后N-r个可以被前r个线形表示.

此矩阵[A1 A2 A3....Ar...AN]=∑[0 0 ...Ai 0 0...x1i*Ai x2i*Ai x3i*Ai...] (对i求和)

后N-r个可以被前r个线形表示,一定有一组x满足等式

A为秩为r的矩阵;
PAQ=e1+e2+e3...er;
A=P^-1(e1+e2+e3...er)Q^-1;
A=P^-1(e1)Q^-1;P^-1(e2)Q^-1;P^-1(e3)Q^-1;P^-1(er)Q^-1;
即r个秩为1的矩阵之和;
P,Q分别为初等行变换和列变换;