我已离职20多天老，但在任职期间公司未签定合同和给予交纳保险，请问我还可以到相关部门申述公司赔偿吗。

可以，只要公司认可就行，如果公司不认可，你必须有足够的证据，向劳动仲裁申请你的利益。比如欠发的工资，未给你缴纳的养老保险等，关键问题是证据，没有证据劳动仲裁是不会为你讨回公道的。

看得出用人单位极不负责任.
你可以使用法律来保护自己,根据《劳动法》的相关规定，用人单位必须跟员工签订劳动合同并购买保险，因此购买社保是必须的，属于强制保险，因此你可以跟用工单位协商解决，无果的情况下，申请劳动仲裁或向当地劳动保障部门反映并投诉，是可以得到有效解决的。

其证据就是证明跟单位有劳动关系，比如工资条，工牌等。
一般只能补交社保,却不能以返现金的形式.

可以，劳动仲裁1年内有效

准备好证据，工资条、工作证、考勤记录、证人证明等

要求公司支付你双倍工资，补交社保，经济补偿金

过程大致是这样，前提是准备好充足的证据。

一、可以选择和公司协商。协商不成再申请劳动仲裁，仲裁不满意，再向法院上诉；
二、直接申请劳动仲裁，仲裁不满意，再向法院上诉；

就你说的这种情况应该公司是应当支付双倍工资的。