f(x+y)=f(x)f(y),求f'(x)与f(x)的关系？

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/24 05:04:51
设f在正无穷到负无穷有定义，且对所有的实数都有f(x+y)=f(x)f(y)成立,又设f'(1)=a,试求f'(x)与f(x)的关系式
f'(x)为f(x)的导数。 原型的确为指数函数，但是我没导出来。请各位帮忙了 。请各位具体回答，详细步骤，谢谢合作了，嘿嘿

f'(x)
你想求的是导数还是反函数啊

原型为指数函数

指数函数

设h趋于零，由导数定义：
f'(x)=lim[f(x+h)-f(x)]/h
=limf(x)[f(h)-1]/h
=f(x)lim[f(h)-1]/h
令x=1，则有：
f'(1)=f(1)lim[f(h)-1]/h
lim[f(h)-1]/h=f'(1)/f(1)
右端为一个常数，左边的极限也应是个常数，而由于h趋于0，故
f(h)-1也趋于0，所以有：
f(0)-1=0
f(0)=1
所以：
f'(x)=f(x)lim[f(h)-1]/h=f(x)lim[f(h)-f(0)]/h=f(x)f'(0)=f(x)
注：可以先考虑特殊函数来做这题，但证明时不可以。
这里的f'(0)=0，是因为，在极限中，h趋于0，则f(h)=f(0)=1