【急。在线等！】高中数学题！，关于微元法

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/01 13:43:39
设边长为1的正三角形ABC的边BC上有n等分点，沿B到C的方向，依次为P1,P2,……，P n-1 这n-1个点，把BC边平均分成n份，若Sn=AB向量·AP1向量＋AP1向量·AP2向量＋……＋APn-1向量·AC向量
求证：Sn=(11n^2 - 2)/ 6n

设向量BP1 = 向量P1P2 = 向量P2P3 = ... = 向量Pn-1C = P,|P| = 1/n(下面都是指向量)
APi = AB + BPi = AB + i*P(i = 1,2...n - 1)
设AB = AB + 0*P = AP0,AC = AB + n*P = APn
故Sn = sigma(i = 0到n - 1)(APi * AP(i + 1))
= sigma(i = 0到n - 1)((AB + i*P)(AB + (i + 1)*P))
= sigma(i = 0到n - 1)(|AB|*|AB| + (2*i + 1)*|P|*|AB|/2 + i*(i + 1)*|P|*|P|)
= n + 1/(2*n)*n^2 + 1/2*n*(n - 1) /(n*n) + 1/(6*n*n)*(n - 1)*(2*n - 1)*n
= 3*n/2 + 1/2 - 1/(2*n) + (n/3 + 1/2 + 1/(6*n))
=(3/2 + 1/3)n - (1/2 - 1/6)*(1/n)
=(11n^2 - 2)/6n
得证