如图，已知正方形ABCD中，M是AB中点，E是AB延长线上一点，NM⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N。求证：DM=MN

取AD中点，记为F，连接FM，
则AF=DF=1/2AD=AM
故三角形AFM为等腰直角三角形
又有，角FMD=角AFM-角FDM=45°-角FDM
角MNB=角NBE-角NMB=45°-角NMB
角FDM=角NMB（在两个直角三角形里很容易得出）
所以，角FMD=角MNB
角FDM=角NMB
BM=（1/2AB=1/2AD=）DF
由角角边
可得三角形DFM和三角形MNB全等
则有DM=MN

设MN交BC于点F，
因为 ∠ADM = 90°-∠AMD，
∠BMF = 180°-∠DMN -∠AMD = 90°-∠AMD
所以，∠ADM =∠BMF
直角△ADM ∽ 直角△BMF
因为，M是AB中点，则 AD/AM = BM/BF = 2
所以，BF = BM/2 = AB/4
取BC中点G，联结NG，，由点N在∠CBE的平分线上，∠NBG = 45°，所以三角形BNG是等腰直角三角形，从而NG⊥BC，且BF = GF
△BMF ≌ △GNF，则 FM = FN
又由直角△ADM ∽ 直角△BMF，知
MD/AM = FM/BF = 2FM/2BF = MN/BM，
所以 DM=MN

过N做NH垂直BE于H
BN为直角平分线 NH=BH
DMN为直角 角ADM=角NMB
正切相等为1：2
即AD=2AM MH=2NH
又因NH=BH 所以BH=MB
所以MH=AD
所以ADM与MNH全等
所以DM=MN