已知函数f(x）……

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/22 00:50:20
已知函数f(x)=ax³+bx²+2x在x=-1处取得极值，且在点（1，f(1)）处的切线斜率为2.若关于x的方程f(x)+x³-2x²-x+m在[1/2,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.
不好意思，方程是f(x)+x³-2x²-x+m=0.

对f(x)求导
f'(x)=3ax^2+2bx+2
f'(-1)=0,3a-2b+2=0
f'(1)=2, 3a+2b+2=2
解得a=-1/3,b=1/2

方程为g(x)=2x^3/3-3x^2/2+x+m=0
对g(x)求导
g'(x)=2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)
所以有x<1/2时，函数g(x)是增函数
1/2<x<1时，函数g(x)是减函数
x>1时，函数g(x)是增函数
函数g(x)在x=1处有极小值
所以g(1/2)≥0，1/12-3/8+1/2+m≥0，m≥-5/24
g(1)<0, 2/3-3/2+1+m<0 ,m<-1/6
g(2)≥0 16/3-6+2+m≥0，m≥-4/3
所以m的取值范围是[-5/24,-1/6)