已知a,b,c是R+,ab+bc+ca=1求证√a/bc+√b/ac+√c/ab≥3(√a+√b+√c)
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/15 02:51:06
分析:
先观察一下不等式两边次数,左边-3/2次比右边1/2次小2次,正好是已知条件多项式的次数。不妨试试给左边乘以已知条件中的式子变成齐次式,以利用基本不等式证明。
将用到的基本不等式:若x、y、z都是正数,那么:
x^3+y^3+z^3>=3xyz
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+xz
等号成立的条件是x=y=z
这两个不等式都是平均值不等式的简单推导结论。
证明:
√a/bc+√b/ac+√c/ab
=[(√a)^3+(√b)^3+(√c)^3]/abc
=[(√a)^3+(√b)^3+(√c)^3](ab+bc+ca)/abc
=[(√a)^3+(√b)^3+(√c)^3][(√ab)^2+(√bc)^2+(√ca)^2]/abc
>=3(√a√b√c)(√ab√bc+√ab√ca+√bc√ca)/abc
=3[√(abc)][√(abc)](√a+√b+√c)/abc
=3abc(√a+√b+√c)/abc
=3(√a+√b+√c)
当且仅当a=b=c时等号成立。
证毕!
已知a、b、c是三个有理数,且|ab|>ab,|2a+b|>2a+b,a>b,a+b+c=0
已知a,b,c∈R,
已知a,b,c属于R+,求证:ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)大于等于6abc
已知ab是实数,求证a*a+b*b+1>a+b+ab
R(A,B,C) F={AB->C,BC->A,B->C} 是第几范式?
已知a,b∈R,求证:a^2+b^2+1>ab+a
已知a-b=b-c=2,则代数式a*a+b*b+c*c-ab-ac-bc
已知a,b,c均是正数,ab+bc+ca=1,要求证明a+b+c≥√3.
已知a,b属于R+,a+b=3, 求ab^2最大值
已知A,B,C是△ABC的三边,且A*A+B*B+C*C-AB-BC-AC=0,则△ABC是怎样的三角形?