高分求解高中几何加试题，请大侠们帮忙

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/12 19:06:40
在等腰直角三角形ABC中，A=90度,AB=1,D为BC中点，E，F为BC边上另外两点（在D两边），M为三角形ADE的外接圆和三角形ABF的外接圆的另一个交点，N为直线AF与三角形ACE的外接圆的另一个交点，P为直线AD与三角形AMN的外接圆的另一个交点
求AP长度

证明：如图所示：



∵ANMP四点共圆∴∠NPM=∠NAM，∠MNP=∠MAP∵ABFM四点共圆∴∠NAM=∠MBF……①∴∠NPM=∠MBF……②∵AMDE四点共圆∴∠MAP=∠MEB∴∠MNP=∠MEB……③∴△MNP∽△MEB【根据②、③两式判定】∴∠NMP=∠EMB∴MN/ME=MP/BM并且有：∠NME=∠NMP-∠EMP=∠EMB-∠EMP=∠PMB∴△BMP∽△EMN∴∠MBP=∠MEN……④又∵ACEN四点共圆∴∠NEB=∠NAC，再结合①式∠NAM=∠MBF∴∠MEN=∠NEB-∠MEB=∠NAC-∠MAP=∠NAM+∠DAC=∠MBF+45°再代入④式得：∠MBP=∠MBF+45°即∠DBP=∠MBP-∠MBF=45°∴DP=BD*tan45°=BD=AD∴AP=2AD=2*(√2/2)*AB=√2

根号2。蛮有意思的题目。