求证：矩阵A的列向量组线性相关 <=> (AT A)的行列式为零

明白LZ的意思。是想问为什么R(A)=R(AT A)，即A的秩等于AT A的秩是吧.

我来证明一下这个命题。

构造两个齐次线性方程组：
（1）Ax=0, (2)(AT A)x=0
如果这两个方程组同解，则两个方程组的系数矩阵有相同的秩，R(A)=R(AT A)=n-基础解系中向量个数。
这个很好理解对吧，《线性代数》的基本内容。

现在来证明它们同解：
首先，如果x1是（1）的解，那么它肯定也是（2）的解，因为将其代入（2）：
(AT A)x1=AT (Ax1)=AT *0=0

其次证明（2）的解也是（1）的解：
设x1是（2）的解，则AT A x1=0
进一步有：x1T AT A x1=0
即(Ax1)T (Ax1)=0
假设Ax1＝[a1,a2,...,an]T
则(Ax1)T(Ax1)=0就是a1^2+a2^2+...+an^2=0
那么只有a1=a2=...=an=0
也就是Ax1=0
至此说明了(2)的解也是(1)的解。

于是R(A)=R(AT A)

就是这一步有点难，接下来的问题都是迎刃而解了。

矩阵A的列向量组线性相关
<=>矩阵A的列帙<n
<=>矩阵A^T的行帙=矩阵A的列帙<n
<=>矩阵 A^T A 的帙<n
<=>(A^T A)的行列式为零

赞同上面看法。
因为A^T A为n阶，它的秩小于等于minR{A^t,A},
又矩阵A的列向量组线性相关，所以A的秩小于n，
所以minR{A^t,A}小于n
所以A^T A的行列式为零。

我觉得一楼挺好的啊，老师好像就这么讲过，行列式抄来抄去本来就没意思嘎，
实在想写，就写成行向量，列向量呗