请问“6174问题”的数学证明

设a1a2a3a4是任一各位数字不全相等的四位数,将其数字从大到小重排为b1b2b3b4,
则9≥b1≥b2≥b3≥b4≥0(b1,b2,b3,b4之间的等号不能同时成立)
令x=b1b2b3b4-b4b3b2b1=1000b1+100b2+10b3+b4-(1000b4+100b3+10b2+b1)
=999(b1-b4)+90(b2-b3)
下分三种情况讨论
① 若b2-b3=0,
则x只能取0999,1998,2997,3996,4995,5994,6993,7992,8991这9个值,将这9个四
位数的数字按从大到小重排后得到下面5个四位数
表1 9954,9963,9972,9981,9990
② 若b1-b4=0,则x只能取0090,0180,0270,0360,0450,0540,0630,0720,0810这9
个值,将这9个四位数的每一个的数字按从大到小重排得到下面5个四位数
表2 5400,6300,7200,8100,9000
③ 若b1-b4≥1,且b2-b3≥1,则将x改写成
x=1000(b1-b4)+100(b2-b3-1)+10(9-b2+b3)+(10-b1+b4)
令c1=b1-b4,c2=b2-b3-1,c3=9-b2+b3,c4=10-b1+b4,则
1≤c1≤9,0≤c2≤8,0≤c3≤8,1≤c4≤9
因此 c1c2c3c4就是x的十进制表示,且有
c1+c4=10,c2+c3=8
由排列组合知满足上述条件的四位数c1c2c3c4只有81个,将这些四位数的数字按从大到小
的顺序重排后得到25个不同的四位数
表3 5544,5553,6444,6543,6552
6642,7443,7533,7551,7632
7641,7731,8442,8532,8550
8622,8640,8721,8730,8820
9441,9531,9621,9711,9