高一 数学 最大值问题 请详细解答,谢谢! (13 21:32:32)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 17:51:21
已知x,y都是正数，则满足x+2y+xy=30,求xy的最大值，并求出此时x,y的值？
是否要得出xy=30-x-2y
然后求-(x-2y)的最小值？

+2y>=2根号(2xy),当x=2y时取等号
所以有30=x+2y+xy>=2根号(2xy)+xy
换元，令t=根号(xy)>=0,则xy=t²
t²+2(根号2)t-30<=0
(t+5根号2)(t-3根号2)<=0
解得,-5根号2<=t<=3根号2
t²<=18，即xy的最大值是18
此时，xy=2y²=18,y=3,x=6

a+b>=2*根号(ab)
一正:a,b>0
二定:a和b的乘积是一个确定的值.
三相等:就是说用完这个不等式,一定要验证"="是否成立.
方法就是,当a=b时,看看a+b是否等于2*根号(ab)
也就是说和一定,积有最大值;积一定,和有最小值.

在这道题中,要求xy的最大值,但x+y并非定值,不满足使用均值不等式求它的最值的条件.
虽然如此,x+y不是定值,但x+2y与xy之间还是存在一定关系的,就是满足题目的方程.只要对x+2y使用均值不等式,那么就可以使xy的取值范围定下来.这就是均值不等式的本质,当x+y是定值时是一步到位,而在这个题目中是多走了一步,通过解一个关于(根号xy)的一元二次不等式来实现求最值的目的

也行