高二 数学 函数 请详细解答,谢谢! (15 21:1:46)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/18 05:57:08
已知函数f(x)=㏒2（2x+1)
(1)求证：函数f（x）在（-∝，+∝)内单调递增
（2）若关于x的方程㏒2（2x-1）=m+f（x）在[1，2】上有解，求m的取值范围

1、利用复合函数的单调性，可以很快得证
2、方程㏒2（2x-1）=m+㏒2（2x+1）可化为
㏒2[(2x-1)/(2x+1)]=m
log2[1-2/(2x+1)]=m
已知x属于[1，2】，可以进一步求出，2/(2x+1)，1-2/(2x+1)，log2[1-2/(2x+1)]的取值范围，即m的范围

（1） 因为 2X+1 为 增函数 且 2大于1 所以说根据复合函数性质可得f(x)在该区间内为增函数。
（2）m=log2(2x-1)-log2(2x+1)
=log2((2x-1)/(2x+1))
又因为x在[1，2】 有解 所以又此可得
m的取值范围为[1/3，3/5】

（1）设x1>x2且属于正无穷到负无穷，则：

㏒2（2x1+1)-㏒2（2x2+1)=㏒2((2X1+1)/(2X2+1))
又因为x1>x2，所以(2x1+1)>(2x2+1)
所以（2X1+1)>(2X2+1)即：(2X1+1)/(2X2+1)>1
所以㏒2((2X1+1)/(2X2+1)）>0
即在（-∝，+∝)内单增
（2）m=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log2((2x-1)/(2x+1))
即使Y=m与Y=log2((2x-1)/(2x+1))在[1，2】有交点
又因为Y=log2((2x-1)/(2x+1))在（-∝，+∝)内单增
所以Y=log2((2x-1)/(2x+1))在[1，2】内的最小值为og2（1/3),最大值为㏒2（3/5)
即M属于[og2（1/3),㏒2（3/5)】