一题有关函数单调性和根的证明体

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/14 04:25:20
已知函数f（x）=x^3+x+1(x属于R)求证：
（1）函数f（x）在R上是增函数
（2）满足方程f（x）=0的实数x至多有一个

(1)对f(x)求导：
f'(x)=3x^2+1
可知f'(x)始终大于0，因此f(x)始终是增函数。

(2)由于f(x)始终是增函数，那么f（x）=0的根当然至多只有一个，否则如果有两个，记为x1,x2。则根据中值定理，在(x1,x2)上必存在一点m，使得f'(m)＝0，这与f'(x)始终大于0矛盾。

1）f'（x）=3x^2+1＞0,故函数f（x）在R上是增函数.
2)f（-2)＜0,f（1)＞0,根据零点定理,有f（x）=0至少有一个实数解,又
函数f（x）在R上是增函数,故函数f（x）的实数解x至多有一个