如图,锐角三角形ABC三边是abc，他的外心到三边的距离分别为mnp，那么m：n：p

连接AO,BO,CO;
因为O是外心,则AO=BO=CO;
则m,n,p分别垂直平分a,b,c;
由勾股定理,有
m=√(R^2-(a/2)^2);n=√(R^2-(b/2)^2);p=√(R^2-(c/2)^2);

R是三角形外接圆半径;通过正弦定理来求:
R=a/(2sinA)=b/(2sinB)=c/(2sinC);
sinA通过余弦定理来求:
有cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc);
由 cos^2 A + sin^2 A =1 求出sinA;再由此求出R;继而可求出 m：n：p

3:3:1

等于各角余弦的比

m：n：p =cosA:cosB:cosC

m：n：p =cos(A/2):cos(B/2):cos(C/2) =√(cosA+1)/2:√(cosB+1)/2:√(cosC+1)/2 此处是半角定理
用余弦定理自己算出来吧

cosA = b^2+c^2-a^2/2bc
由此类推