证明：n(n+1)/2 < √(1*2) + √(2*3) + ... + √[n(n+1)] < [(n+1)/2]^2

不等式右边应该是(n+1)^2/2
√(1*2) + √(2*3) + ... + √[n(n+1)]
＞√(1*1) + √(2*2) + ... + √[n*n]
=1+2+ ... +n
=n(n+1)/2

√(1*2) + √(2*3) + ... + √[n(n+1)]
＜1/2(1+2)+1/2(2+3)+ ... +1/2(n+n+1)
=1/2[(1+2)+(2+3)+(3+4)+ ... +(n-1+n)+(n+n+1)]
=1/2[(1+1)+(2+2)+(3+3)+ ... +(n+n)+n]
＜1/2[(1+1)+(2+2)+(3+3)+ ... +(n+n)+n+1]
=(1+2+3+ ... +n)+(n+1)/2
=n(n+1)/2+(n+1)/2
=(n+1)^2/2

综上，原不等式得证。

n=4时，√(1*2) + √(2*3) + ... + √[4(4+1)] =11.799
而[(n+1)/2]^2=6.25 题目错误。
原题左侧不等式正确 证明方法就是
[n(n+1)]>n 等差数列求和就是左端项。