已知△ABC,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BF平分∠ABC交AD,AC于E,F.求证:AE=AF

因为∠BDA=90°（记∠BAF=∠1,∠FBC=∠2,∠BAC=∠3)
∠2+∠BED=90°
因为∠BED=∠AEF（对顶角）
所以∠2=∠AEF
因为BF平分∠ABC所以∠1=∠2
因为∠BAC=90°
所以,∠1+∠BFA=90°
所以∠AEF=∠AFE
所以AE=AF

因为BF平分∠ABC，∠ABF=∠EBD
由∠BAF=∠BDE=90°可知三角形ABF和三角形EBD为相似三角形，所以∠BFA=∠BED
又因为∠BED和∠AEF为对顶角，∠BED=∠AEF=∠BFA
三角形AEF两个底角相等，所以是等腰三角形，AE=AF
OVER！~~~~~