证明y=x+sinx在R上严格递增。

数学分析中的题目，根据书的知识进展是不能用到导数的，下面用放缩的方法告诉你 设x1<X2
F(X1)-F(X2)=x1+sinx1-x2-sinx2=x1-x2+sinx1-sinx2现在只需要证明 x1-x2+sinx1-sinx2<0 即证x1-x2<-sinx1+sinx2
II表示绝对值
因为和差化积I-sinx1+sinxI=2Icos（x1+x2/2）sin（x1-x2/20I<2Isin（x1-x2/2)I因为高一三角函数有正弦线长<弧长
所以有2Isin（x1-x2/2)I<Ix1-x2I
然后根据符号可得x1-x2<-sinx1+sinx2 命题得证

此题用微分来解决
要证明该函数严格递增，只要证明在R上y的导数始终≥0即可，y'=1+cosx≥0
得以证明

求导数

y'=x'+(sinx)'
=1+cosx

cosx属于[-1,1]

y'显然大于等于0 所以严格递增

y的导数y'=1+cosx,x定义域为R，因为cosx的值域为[-1,1],所以1+cosx的值域为[0,2],所以y'在R上恒大于等于0，所以y在R上严格递增

定义域R
y'=1+cosx>=0在R上横成立
所以y=x+sinx在R上严格递增。