已知f(x)=a1*x+a2*x^2+…+an*x^n,且对任意n∈N＋，都有f(1)=n^2

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 13:10:30
已知f(x)=a1*x+a2*x^2+…+an*x^n,且对任意n∈N＋，都有f(1)=n^2
①若n为偶数，求证f(-1)=n
②求证f(1/2)＜3

1.对任意n∈N＋，都有f(1)=n^2
n=1 f(1)=a1=1
n=2 f(2)=a1+a2=2^2=4 a2=2^2-a1=3
an=n^2-(a1+....+a(n-1))=n^2-(n-1)^2=2n-1
f(-1)=-1+3-5+....+(2n-1)(-1)^n
n为偶数 f(-1)=(-1+3)+(-5+7)+...+(-(2n-3)+2n-1)=2*(n/2)=n
(n为奇数时f(-1)=-n)
2、f(1/2)=1/2+3*(1/4)+...+(2n-1)(1/2)^n
令bn=(2n-1)(1/2)^n
Sn=b1+b2+..+bn
用错位相减法求和
Sn=b1+b2+..+bn=1/2+3*(1/4)+...+(2n-1)(1/2)^n
(1/2)Sn=1/4+3*(1/8)+..+(2n-3)*(1/2)^n+(2n-1)(1/2)^(n+1)
相减 (1/2)Sn=1/2+2(1/4+1/8+...+(1/2)^n)-(2n-1)(1/2)^(n+1)
Sn=1+2(1/2+....+(1/2)^(n-1))-(2n-1)(1/2)^(n+1)
=3-(1/2)^(n-2)-(2n-1)(1/2)^(n+1)

故 f(1/2)=Sn<3

你问了好多题啊 是暑假作业吧
现在的孩子都懒了啊