三角形外接园与内接圆半径与三边边长的关系

1.外接圆半径R：
根据正弦定理以及余弦定理：
a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R
a2＝2bc•cosA
可得：
cosA＝(b2＋c2－a2)／2bc
∵ sin2A＋cos2A＝1，∠A∈（0，180°）
∴ sinA＝√(1－cos2A)
＝√[(a2＋b2＋c2)2—2(a4＋b4＋c4)] / (2bc)
代入正弦定理a/sinA＝2R，得：
R＝2abc /√[(a2＋b2＋c2)2—2(a4＋b4＋c4)]
（三角形外接圆半径与三边边长、面积的关系可推导得：R=abc/4S）

2.内接圆半径r：
∵ r=2S/(a+b+c) (S是三角形面积)
且根据众所周知的秦九韶—海伦公式，
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2
∴ r=2√[p(p-a)(p-b)(p-c)] /(a+b+c)

3.三角形外接圆半径、内接圆半径与三边边长的关系可表示为：

R*r=(abc/4S)*[2S/(a+b+c)]=abc/2(a+b+c)

说明：
外接圆半径是指三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的交点到三个顶点的距离；
内接圆半径是指三角形三条边上的高线的交点到三条边的距离。

设三边长分别为a,b,c,设p=(a+b+c)/2,三角形面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c),
外接圆半径R=abc/4S
内心连结各顶点，得三个小三角形，高为内切圆半径。其面积之和等于大三角形面积，
S=r(a+b+c)/2,r=2S/(a+b+c)

内接圆：S（三角形）=0.5*（a+b+c）*r