09数学选修模块高考题

方法一
条件1为一空间平面方程，条件2为一空间球体方程
欲求问题1即求球与面相切，亦即原点距离面的最短距离
{d}min=|0+0+0*2-1|/（1²＋1²＋2²）^1/2
=(1/6)^1/2
故{t}min=d^2=1/6
欲求问题2即定半径的球与面相交时Z轴坐标的变化范围
使用拉格朗日乘子法即：z=f(x,y)=(1-x-y)/2
st.g(x,y)=x²＋y²＋z²-1/2=0
l(x,y,z)=u*f(x,y)+g(x,y)
由l对x，y，z的偏微分为零得到3个方程联立求得此时x,y,u带入得到z的最大值和最小值。 0<=z<=2/3

方法二
将Z作为x,y的函数带入t中得到关于x，y的表达式，配方
得到除完全平方式相加，即得最小值
对于此问题2就使用不等式放缩搞定，SO EASY!

方法三
使用柯西不等式求解
(1).(x²＋y²＋z²)(1²＋1²＋2²)≥(x＋y＋2z)²=1
所以t≥1/6,即tmin＝1/6.

(2).(x²＋y²)(1²＋1²)＝2(1/2－z²)≥(x＋y)²＝(1－2z)²
即2(1/2－z²)≥(1－2z)²
解得0<=z<=2/3.

(1).由柯西不等式
(x²＋y²＋z²)(1²＋1²＋2²)≥(x＋y＋2z)²=1
所以t≥1/6,即tmin＝1/6.

(2).(x²＋y²)(1²＋1²)＝2(1/2－z²)≥(x＋y)²