如图,等边三角形ABC的两条角平分线BD、CE 相交于点P，BP=10cm，求PD的长

楼上已经给答案了，我给一个证明吧：
由于三角形是正三角形，BD和CE不仅是角平分线，也是中垂线根据对称性可知BP=PC，加之∠PCD=30°，所以就有PC=2PD了，也就是BP=2PD
至于重心的性质，对于一般的三角形也是成立的：三条中线交于一点，改点即为重心，可用同一法加以证明；BP=2PD，也是一般的性质，不局限于正三角形，证明办法是“倍长中线”，就是将线段PD延长一倍，再加以证明。
p.s.凡是有关中线的问题，倍长中线一般都是一个突破口，lz以后可以经常的尝试一下

如图9，△ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PD=PE，求证：AC=AB．
　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　图 9　　　　　　　　　　　　　　 图 10
　　解析：连结AP，如图10
　　　　　∵ ∠PDA=∠PEA=90°，PD=PE，PA=PA，
　　　　　∴ Rt△PDA≌Rt△PEA，
　　　　　∴ AD=AE，
　　　　　又∵ ∠CAB=∠BAD，
　　　　　∴ Rt△ACE≌Rt△ABD，
　　　　　∴ AC=AB．

P点不仅是内心,也是重心,PD=BP/2=5cm.

重心的性质：
BP:PE=2:1 所以PE=5
PD=PE=5