已知m，n为实数，a，b为正实数，n2m2＞a2m2+b2n2，证明:根号（m2+n2）＞a+b

先证明一个引理：
柯西不等式楼主学过吧？两项的就是(x1y1+x2y2)^2<=(x1^2+x2^2)(y1^2+y2^2)

引理：

不妨取

x1=a/n, x2=b/m,

y1=n, y2=m

带入(x1y1+x2y2)^2 < (x1^2+x2^2)(y1^2+y2^2)得到

(a+b)^2 <= [(a/n)^2+(b/m)^2](n^2+m^2)

即(a/n)^2+(b/m)^2) >[(a+b)^2]/(n^2+m^2)

引理证毕

根据已知条件(mn)^2 > (am)^2+(bn)^2 两边同除以(mn)^2可得

(a/n)^2+(b/m)^2 <= 1

由引理可知[(a+b)^2]/(n^2+m^2) <=(a/n)^2+(b/m)^2)

所以[(a+b)^2]/(n^2+m^2)<1

即(a+b)^2<n^2+m^2

所以根号n^2+m^2>a+b