高等代数的证明题

考虑到 R^n 的任何一组基可以标准正交化即可得到存在性(考虑两组基的过渡阵)。唯一性是显然的，证明如下：
设 T_1B_1=T_2B_2, 则 {T_2}^{-1}T_1=B_2{B_1}^{-1}.注意到
1.正交阵的乘积，正交阵的逆还是正交阵
2.上三角阵的乘积，可逆上三角阵的逆还是上三角阵(最后这个要好好想想)
(请证明)
故左侧是正交阵，右侧是上三角阵，于是必为对角阵而且对角元不是 1 就是 －1(注意正交阵的定义，以及它是上三角的正交阵)。但是由于已知 B_i(i=1,2) 的对角元是正的，于是只能是 E. 由此 T_1=T_2, B_1=B_2.
证毕

实数矩阵 A 的 QR 分解是把 A 分解为 A=QR
这里的 Q 是正交矩阵（意味着 Q^T Q = I）而 R 是上三角矩阵。类似的，我们可以定义 A 的 QL, RQ 和 LQ 分解。

更一般的说，我们可以因数分解复数 m×n 矩阵（有着 m ≥ n）为 m×n 酉矩阵和 n×n 上三角矩阵的乘积。

如果 A 是可逆的，当我们要求 R 的对角是正数的时候，则这个因数分解为是唯一。

证明可参见《矩阵论》（第二版）（程云鹏 著）的203-205页的定理4.6的详细证明。