抽象函数的问题

函数是中学数学教学的主要内容之一，也是历年高考的重点考查知识，然而考查的的主要对向之一是函数中抽象函数问题，而抽象函数是在没有具体函数解析式下，求解有关函数知识的问题，且综合了函数的其它性质一起来考察，这给解题带来了很高的要求.其实抽象函数都具有一些背景函数，即是从我们学习过的基本函数中抽象出来的.，经过多方面的收集和整理得到，抽象函数大致可划分为以下的五种类型，为此本文将给出解答抽象函数问题的一些具体的方法，供大家参考:
1、正比列函数型
设y=f(x)为定义在R上的函数，如果满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则具有性质
(1)f(0)=0；(2)y=f(x)是R上的奇函数；(3)若x≠0，f(x)≠0时，则y=f(x)是R上的单调函数
例1：已知函数f(x)对任意的实数x，y，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0，f(-1)=2求f(x)在区间[-2,1]上的值域
分析：由题设可知，其模型函数为正比例函数型，因此求函数f(x)的值域关键在于求出其单调性。
解：令x=y=0，则f(0)=0；
令y=-x，则有f(x)+f(-x)=f(0)
∴f(x)=-f(-x)
∴f(x)是奇函数
设-2≤x1<x2≤1，则x1-x2>0，∵当x>0时f(x)>0
即f(x2)+f(x1)=f(x2)-f(x1)>0
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)是[-2，1]的增函数
f(-2)=f(-1)+f(-1)=-4
f(1)=-f(-1)=2
∴函数f(x)在区间[-2，1]的值域是[-4，2]
点评：在求解此题时，已经证明了性质(1)，性质(2)，还告诉了性质(3)的证明方法，若在选择或填空题中遇到时，可直接应用。
3、指数函数型
设f(x)是定义在R上的不恒为0函数，满足f(x+y)=f(x)f(y)，且当x>0时，恒有f(x)>1(或恒有f(x)<1)，则具有性质：
(1)f(x)>0且f(0)=1(2)
(3)f