求证:当p,q都是奇数时,方程X²＋2PX＋2Q等于0（P²-2Q＞0）的根都是无理数

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/31 03:07:12
科学技术文献出版社初升高衔接教材数学第96面第7道

明显方程有两相异实根，该实根是否为无理数取决于P^2-2Q是否为一个完全平方数（判别式中公因数4直接提出去根号外了，剩下P^2-2Q在根号下），下面证明P^2-2Q不可能是一个完全平方数，P、Q是奇数，不妨设P=2k+1，Q=2l+1，其中k，l是整数，代入P^2-2Q中化简可得，P^2-2Q=4k^2+4（k-l）-1，这个数除以4余数是3（注：（4k^2+4（k-l）是4的倍数，-1相当4-1即余3），但是所有的完全平方数除以4要么余数为1，要么余数为0（奇数的平方除以4余1，设该奇数为2
t+1，直接展开（2t+1）^2可知，偶数的平方除以4余0），故P^2-2Q=4k^2+4（k-l）-1不可能是完全平方数，所以当p,q都是奇数时,方程X²＋2PX＋2Q等于0（P²-2Q＞0）的根都是无理数