不等式 1 道

二楼的参考是我曾经证明这题用的方法，现在这题我已有新的更简单的证明，
证明：
注意到：x/(1+x)=(x+1-1)/(x+1)=1-1/(x+1)
同理y/(1+y)=1-1/(y+1)
z/(1+z)=1-1/(z+1)
故原不等式等价于：3-(1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1))<=3/4
<=>1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)>=9/4
由柯西不等式：
(x+1+y+1+z+1)[1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)]>=(1+1+1)^3=9
由题中条件x+y+z=1可得x+1+y+1+z+1=4

故1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)>=9/4成立。因此原不等式成立。
证毕。。

我不是数学天才 我来给你捧个场

设X是三个数X，Y ,Z 中最小的，那么X<=1/3;
X/(X+1)+Y/(Y+1)+Z/(Z+1)≤(X+Y+Z）/（X+1）
然而(X+Y+Z）/（X+1）=1/(X+1）<=1<=x+1，x+1<=4/3
X/(X+1)+Y/(Y+1)+Z/(Z+1)≤1/(X+1）≤4/3 ;

参考:
考虑证明：
x/(x+1)-1/4<=(9/16)(x-1/3)............(1)
证明：
上式整理得：9x^2-6x+1>=0
即(3x-1)^2>=0
显然上式恒成立.
于是同理还有y/(y+1)-1/4<=(9/16)(y-1/3)............(2)
z/(z+1)-1/4<=(9/16)(z-1/3)............(3)
(1)+(2)+(3)得x/(x+1)+y/(y+1)+z/(z+1)-3/4<=(x+y+z-1)=0
所以
x/(x+1)+y/(y+1)+z/(z+1)<=3/4成立。
证毕。。

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