半径为r的球的内接正四面体的体积是？

解：
设正四面体棱长为a,顶点为A,高为AM,球心为O.
则有AM^2=[(√3a)/2]^2-[(√3a)/6]^2
得AM=AO+OM=R+OM=(2a√6)/6①
有OM/R=1/3②
由得①②a=4R/(a√6)
又因为可求底面S=[（√3)/4]*a^2
v=(1/3)*S底面*AM=(√2)/12a^3
∴所求其内接正四面体体积v={(8√3/27]*R^3

构造一个正方体，说得明白一点吧，设正方体棱长为a,取其棱上四点得一正四面体，其棱长为
√2a，正方体的外接圆直径（正方体体对角线）为√3a；半径为r的球内接正方体棱长为
(2r)/(√3),所得正四面体棱长为
(2√2r)/(√3),代入正四面体体积公式
V=(√2/12)[(2√2r)/(√3)]^3=(8√3r^3)/27

2倍根号2乘以r的3次方.

作一个垂面三角形

(8√3r^3)/27