求y=2根号x+根号(9-x)值域

定义域0<=x<=9
所以不妨设x=9sin²a
0<=a<=π/2

9-x=9(1-sin²a)=9cos²a

所以y=2*(3sina)+3cosa
=√(6²+3²)sin(a+z)
=3√5sin(a+z)
其中tanz=3/6=1/2
sinz/cosz=1/2
cosz=2sinz
sin²z+cos²z=1
sinz=√5/5
cosz=2√5/5

0<=a<=π/2
z<=a+z<=π/2+z
则a+z=π/2,y最大=3√5*1=3√5

最小是sinz或sin(π/2+z)
sinz=√5/5
sin(π/2+z)=cosz=2√5/5
所以sinz小
所以最小=3√5*√5/5=3

所以值域[3,3√5]

0<=x<=9
y1=2根号x
0<=y1<=6
y2=根号(9-x)
0<=y2<=3

3<=y<=6

以下是用柯西不等式解。y=2根号x+根号9-x>=根号2^+1*根号9-x+x=3根号5，所以值域为[3根号5,正无穷）