高二 数学 数学（求过程） 请详细解答,谢谢! (12 10:45:57)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 22:19:36
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，CD中点是G
当角EGF多大时，直线EF垂直于平面PCD

因为侧棱PA垂直于底面

所以PA⊥AB 又因为底面ABCD是矩形

所以AB//CD AD⊥CD

所以CD⊥面PAD

所以CD⊥PD

连接FG,EG

根据重点可以知道EF//AD;FG//PD

所以面EFG//面PAD

所以 EF‖面PAD；

因为CD⊥PD；FG//PD所以CD⊥FG；

FG//AD, AD⊥CD所以FG⊥CD；

所以角EGF就是面PCD与面ABCD所成的角。

又因为EF⊥面PCD

没图很难做...

答案45度，可用向量的方法做。

以A为原点，AB为X轴，AP为Z轴建立空间直角坐标系。
设AP=a AB=2
E（1,0,0）F(1,1,1/2a) G(1,2,0)
向量EF=(1,1,1/2a) 向量FG=(0,1,-1/2a)
向量EF.向量FG=1-1/4a^2=0 a=2
EF=根号2 EG=2
所以角EGF为45度

PA垂直ABCD，推出面PAD垂直于面ABCD，又CD垂直于AD，所以面PDC垂直于面PDA，1、

由EG平行于AD，FG平行于PD，知面EFG平行于面PAD，2、

由1、2、两个结论知面EFG垂直于面PCD，所以，仅当角EFG为直角时EF垂直于面PCD，看面EFG在APD上的投影，EF投影于直角三角形PAD的中线且又是PD边的高，这种情况说明PAD只能是等边直角三角形。所以：

角EGF为45度。