数学高一（过程）

3）2x+5y=20 2x>0 5y>0
2x*5y<或=(2x+5y/2)^2=100
x*y<或=0
1)|ax+by|<或=|ax|+|by|<或=(a^2+x^2)/2+(b^2+y^2)/2=(a^2+b^2+x^2+y^2)/2=(1+1)/2=1
2)x根号(1+Y^2)<或=[(X^2+Y^2+1)/2)]^2=4/9

（1）
因为a^2 + b^2 = 1，x^2 + y^2 = 1
所以令 a = cosα , b = sinα ，x = cosβ , y = sinβ
其中 0 <= α，β < 2pi
所以：
ax + by = cosαcosβ + sinαsinβ = cos(α-β)
可见，-1 <= ax + by <= 1
故最大值为1

（2）
x^2 + (1+y^2)/2 = 3/2
令 a = x^2，b = (1+y^2)/2，则：
a + b = 3/2
x√(1+y^2) = √(2ab)
<= (a+b) / √2 …………（利用不等式：a + b >= 2√(ab) ）
= 3√2 / 4
取等号的条件是：x^2 = (1+y^2)/2 = 3/4，即：x^2 = 3/4，y^2 = 1/2
另外，x√(1+y^2) >= 0
所以：0 <= x√(1+y^2) <= 3√2 / 4

（3）
20 = 2x + 5y >= 2√(2x*5y) = 2√(10xy)
所以：
√(xy) <= √10
xy <= 10
取等号的条件是2x = 5y = 10，即：x = 5，y = 2