高二 数学 数学（求过程）谢谢! 请详细解答,谢谢! (12 19:39:25)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/04/29 22:23:09
已知正四棱锥P-ABCD的底面边长和侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8
求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值？？？

∵AD‖BC，
∴EN∶AN=BN∶ND，又∵BN∶ND=PM∶MA．
∴EN∶AN=PM∶MA，
∴MN‖PE．
又∵PE在平面PBC内，而MN 平面PBC
∴MN‖平面PBC．
∴MN‖PE，
∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角．
设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角．
由正四棱锥的性质知PO=根号(PB^2-OB^2) =13根号2/2 ．
BE∶AD=BN∶ND=5∶8，
∴BE=65/8 ，又在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=65/8 ，可得PE=91/8
在Rt△POE中，PO=13根号2/2 ，PE=91/8 ，
∴sinPEO=PO/PE =4根号2/7 ，故MN与平面ABCD所成的角为arcsin4根号2/7 ．