一道唯一根的证明题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 22:15:11
证明方程X^n+X^(n-1)+......+X^2+X=1在(0,1)内必有唯一实根Xn,并求n趋于无穷大时Xn的极限（n=2,3,4,5,.....)
希望给出具体证明过程啊，谢谢啦，还有它的极限！ 本题是高等数学经管类上册的第139页第7题

Xn的极限为1/2

令：f(x)=X^n+X^(n-1)+......+X^2+X-1
则f(0)=-1<0,f(1)=n-1>0
所以：f(x)在(0,1)上必有根，再由于f(x)的单调性知：f(x)有唯一实根X(n)
0<X(n)<1
令f(x)=0,即：
X^n+X^(n-1)+......+X^2+X=1 左边求和：
X[1-X^(n-1)]/(1-X)=1 (1)
由于n趋于无穷，故X^(n-1)趋于0(这是由于0<X<1)
故(1)式变为：X/(1-X)=1,解得：X=1/2
即当n趋于无穷时，X=1/2

用等比数列求和公式求左式。