二次函数初中题

解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－4a

∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，

∴C(m，－2)代入得a＝ ．∴解析式为：y＝ (x－m)2－2

(亦可求C点，设顶点式)

(2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y＝ (x－m)2－2顶点在坐标原点．

(3)由(1)得D(0， m2－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．

∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．

∴ m2－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)．

当m＋2＜0时，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；

当m＋2＝0时，即m＝－2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍)

综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．

(1)设抛物线解析式为：y=a(x-m+2)(x-m-2)(a为未知数且a>0(因为抛物线开口向上))
由于C点是抛物线顶点，故可设C点坐标为（m,d）（d为未知数）
将C点坐标带入解析式得d=-4a，所以C点坐标（m,-4a）
|AC|^2=16a^2+4,|BC|^2=16a^2+4
|AB|=4
由于AC⊥BC
所以AC^2+BC^2=AB^2
所以32a^2+8=16
a=1/2(因为抛物线开口向上所以a>0)
所以抛物线解析式为y=1/2(x-m+2)(x-m-2)
(2)C点坐标（m,-2）
所以抛物线向右平移-m个单位，在向上平移2个单位可以使顶点在坐标原点
（3）设D点坐标（0，d）(d为未知数且d>0)
将D坐标代入解析式可得 d=1/2(4-m^2)
若△BCD为等腰三角形则|CD|=|BD|(BC不可能为等腰边，就不证明了)
所以m^2+(4-1/2m^2)^2=(m+2)^2+(2-1/2m^2)^2<