△ABC的三个内角值分别为A、B、C,当∠A=α时,2sin(A/2)-cos(B+C)取得最大值

(1) 2sin(A/2)-cos(B+C)=2sin[(180-B-C)/2]-cos(B+C)=2cos((B+C)/2)-2[cos((B+C)/2)]^2+1,设(B+C)/2=t,则2sin(A/2)-cos(B+C)=2cos(t)-2[cos(t)]^2+1,t的取值范围为0<t<90,所以当cost=1/2时取最大值3/2，t=60,所以α =A=180-2t=60度
(2) sinA/2=sinB/b=sinC/c，A=60度，b=4/sqrt(3)*sinB,c=4/sqrt(3)*sinC
三角形面积为1/2*sinA*bc=4/sqrt(3)*sinBsinC=4/sqrt(3)*sinB*sin(120-B)
取最大值时B=60,最大值为sqrt(3)

2sin(A/2)-cos(B+C)=2sin(A/2)+cosA
=2sin(A/2)+1-2(sin(A/2))^2
=-2(sin(A/2)+1/2)^2+3/2
最大值为3/2,此时sin(A/2)+1/2＝0，即A/2=150°，A＝75°

由余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bcCos75°
由于b^2+c^2－2bc>=0,所以b^2+c^2>=2bc
所以4＝a^2=b^2+c^2-2bcCos75°>=2bc(1-cos75)
所以bc<=2/(1-cos75)
所以面积＝1/2*bc*sinA<=1/2*2/(1-cos75)*sin75
=(2^(1/2)+6^(1/2))/(4+2^(1/2)-6^(1/2))
此即最大值

（1）α =45°