高一 数学 数学,快!!!!!! 请详细解答,谢谢! (19 16:28:28)

f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lg(x1*x2)

2f((x1+x2)/2)=2lg[(x1+x2)/2]=lg{[(x1+x2)/2]^}

因为x1，x2都正数，且不等，基本不等式：√(x1x2)<(x1+x2)/2

所以两边平方，(x1x2)<[(x1+x2)/2]^

因为lg是单调递增函数

所以lg(x1*x2)<lg{[(x1+x2)/2]^}

即f(x1)+f(x2)<2f((x1+x2)/2)

f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lg(x1x2)
2f[(x1+x2)/2]=2lg[(x1+x2)/2]=lg[(x1+x2)^2/4]
根据基本不等式：x1+x2>=2根号x1x2
所以(x1+x2)^2/4>=4x1x2/4=x1x2
即 2f[(x1+x2)/2]>=lg(x1x2) =f(x1)+f(x2)
因为只有x1=x2时才能取等号，而这里x1不等于x2,故
f(x1)+f(x2)<2f[(x1+x2)/2]

lgx是增函数

f(x1)+f(x2)=f（x1x2）

2f[(x1+x2)/2]= f((（x1+x2）/2)^2)
^2就是平方

要证f(x1)+f(x2)<2f[(x1+x2)/2]
只需证x1x2 < (（x1+x2）/2)^2

打开化简一下就可以了 非常简单

证明：因为x1,x2不等,所以(x1-x2)^2>0
即x1^2+x2^2>2x1x2
在上式两边同时加上x1x2得x1^2+2x1x2+x2^2>4x1x2
即(x1+x2)^2>4x1x2
即[(x1+x2)/2]^2>x1x2
因为lgx是增函数，所以lg[(x1+x2)/2]^2>lgx1x2
即2lg(x1+x2)/2