求高一一道复数的数学题的解答

z^3+kz^(-3)
=cos3θ+isin3θ+kcos3θ-iksin3θ
=(k+1)cos3θ+i(1-k)sin3θ
当k=-1或θ=(mπ/3)+(π/6)时（m为整数）是纯虚数。

设x=(k+1)cos3θ，y=(1-k)sin3θ即
x/(k+1)=cos3θ,y/(1-k)sin3θ.两式平方相加得：
x²/(1+k)²+y²/(1-k)²=1。
k=0时，有x²+y²=1，值为1；
k＜0时，是复平面上焦点在y轴上的椭圆，最大值1-k，最小值1+k；
k＞0时，是复平面上焦点在x轴上的椭圆，最大值1+k，最小值1-k。

(1) z^3=cos3θ+isin3θ, z^(-3)=cos(-3θ)+isin(-3θ)=cos3θ-isin3θ
z^3+kz^(-3)是纯虚数 => (1+k)cos3θ=0, (1-k)sin3θ≠0
所以k=-1，θ≠n/3π或者θ=n/3π+1/6π, k≠1

(2) |z^3+kz^(-3)|=根号((1+k)^2cos^2 3θ+(1-k)^2sin^2 3θ)
=根号((1-k)^2+4kcos^2 3θ)=根号(k^2+1+2kcos6θ)
所以当k>=1时，最大值为k+1，最小值为k-1
0<=k<1时，最大值为k+1，最小值为0
-1<=k<0时，最大值为1-k，最小值为0
k<-1时，最大值为1-k，最小值为-k-1

对于z，把它化成z=e^i，就简单了
z^3+kz^(-3)=e^3i+e^（-3i）=cos3θ+isin3θ+k[cos(-3θ)+isin(-3θ)]
=(k+1)cos3θ-i(k-1)sin3θ
当k=-1时，是纯虚数
第二小题你自己都可以解出来了吧
过程多了点，我就不说了
记得给分哦！

对于z，把它化成z=e^i，就简单了
z^3+kz^(-3)=e^3i+e^（-3i）