在三角形ABC中，角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列 1：求证 0<B<=π/3 2:求y=1+sin2B/sinB+cosB的取值范围

1.
a,b,c成等比数列
bb=ac
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC
2(sinB)^2=2sinAsinC=cos(A-C)-cos(A+C)=cos(A-C)+cosB<=1+cosB
2(sinB)^2<=1+cosB
0<B<=60度
即证得0<B<=π/3

2.
sinBcosB/(1+sinB+cosB)
sinB＋cosB＝t
tt－1＝2sinBcosB
2sinBcosB/2(1+sinB+cosB)
＝(tt-1)/2(1+t)
=(t-1)/2
=[sinB＋cosB-1]/2

0<B<60度
1<sinB+cosB<=√2
0<sinB+cosB-1<=√2-1
0<2sinBcosB/2(1+sinB+cosB)<=(√2-1)/2

1)b^2=ac,
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac(余弦定理）=（a^2+c^2-ac)/2ac
∵a^2+c^2>=2ac ∴cosB>=1/2,
由于B是三角形的内角，有0<B<=π/3
(2)y=1+2sinBcosB/(sinB+cosB)
令sinB+cosB=t，
则2sinBcosB=t^2-1,y=f(t)=1+(t^2-1)/t=t-(1/t)+1,
而t=根2*sin（B+π/4）,π/4<B+π/4<=7/12π,
所以根2/2<sinB<=1 ,1<t<=根2,
f'(t)=1+1/(t^2)>0,所以f(t)在(1,根2]上单调递增
故f(t)值域为(f(1),f(根2)],即y的值域为(1,1+根2/2]