高一 数学 高一数学：函数的单调性 请详细解答,谢谢! (6 9:40:47)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 00:56:55
已知二次函数f(x)=ax²+b(a,b为常数，且a不等于0)满足：f(-x+5)=f(x-3)，且方程f(x)=x 有等根。
（1）求f(x)的表达式。
（2）是否存在实数m,n(m＜n），使f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m,n的值，如果不存在，说明理由.

解:(1).求a,b,c的值.
由f(-x+5)=f(x-3)得:
a(-x+5)^2+b(-x+5)+c=a(x-3)^2+b(x-3)+c,展开,化简得x=1.于是有
f(-1+5)=f(1-3),即f(4)=f(-2).因此二次函数f(x)有对称轴x=(4-2)/2=1.
故有-b/2a=1,即2a+b=0...................(1).
由f(2)=0得4a+2b+c=0....................(2).
由f(x)=x有等根知方程ax^2+(b-1)x+c=0的判别式△=(b-1)^2-4ac=0.
即b^2-2b-4ac+1=0.......................(3).
由(1)(2)(3)联立求解得:c=0,b=1,a=-1/2.
故f(x)=(-1/2)x^2+x.

分三类情况
1.在单调增区间x<1/2
解方程 3x=-(1/2)x^2+x 得 x=-4,0
m=-4,n=0
2.在单调减区间x>=1/2
解方程租
3y=-(1/2)x^2+x
3x=-(1/2)y^2+y
无解
3.包含最大点(1/2,3/8)
则3n=3/8，n=1/8
m<n=1/8<1/2 属于单增区间，与假设经过最高点矛盾。
综上，m=-4,n=0