急急急 。高二数列问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/08 07:46:59
已知二次函数f(x)∈R对任意x满足f(x-1)=f(-x)，且图像经过点(-2,1)和原点

求函数解析式

蛇数列an前n项和Sn=f(n).求数列an的通项公式an

设bn=1/an ,Tn为数列bn前n项和,试问是否存在关于n的整式g(n)，使得T1+T2+...+Tn-1=(Tn -1)g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立。若存在求出解析式

解:
由于:二次函数f(x)对任意x∈R
满足f(x-1)=f(-x)，
则：对称轴为：x=[(x-1)-x]/2=-1/2
则：设f(x)=a(x+1/2)^2+c
又：图像经过点(-2,1)和原点
则：将点(0,0)和(-2,1)代入，得：
a=1/2,c=-1/8
则：函数解析式
为：f(x)=(1/2)x^2+(1/2)x

由于：Sn=f(n)
则有：
Sn=(1/2)[n^2+n]
S(n-1)=(1/2)[(n-1)^2+(n-1)]
两式相减，得：
an=n (n>=2)
又：n=1时，S1=(1/2)(1^2+1]=1
则；an=n

由于：bn=1/an
则：bn=1/n
则：Tn=1+1/2+1/3+...+1/n
则：Tn为调和级数
其近似和为：ln(n+1)+r
欧拉常数r约为0.577218
由于：
T1+T2+...+Tn-1=(Tn -1)g(n)
对于一切不小于2的自然数n恒成立
则有：
(ln2+r)+(ln3+r)+...+(lnn+r)=[ln(n+1)+r-1]g(n)
ln(2*3*4*...*n)+nr=[ln(n+1)+r-1]g(n)
g(n)=[ln(n!)+nr]/[ln(n+1)+r-1]
显然g(n)不为整式
故：不存在关于n的整式g(n)满足题中条件