函数的简单性质

f(X)对任意的x，y属于R有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时，f(x）<0,求证：f(x）是R的单调减函数。速度.............
由题：f(x+1)=f(x)+f(1) f(x+1)-f(x)=f(1)
又f(1)<0
所以 f(x+1)-f(x)<0
得证

正确么？好像不太对

首先，令：x=y=0,则f(0)=0

其次令：y=-x,则，f(x)+f(-x)=f(0),所以：f(-x)=-f(x),即f(x)是定义在R上的

奇函数；

当x>0时，不妨令任意x1<x2∈(0,+∞),所以：x2-x1>0,

所以：

f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)

=f(x1)-f[(x2-x1)+x1]=f(x1)-f(x2-x1)-f(x1) （题目所给式子反向运用）

=-f(x2-x1),即：f(x1)-f(x2)=-f(x2-x1)；

又x>0时，f(x）<0，所以，-f(x2-x1)>0,即：f(x1)-f(x2)>0,亦即：

f(x1)>f(x2).

又因为f(x)是定义在R上的奇函数，故其在对称区间上具有相同的单调性。所以

f(x)在R上为单调递减函数。

（注意：数学，应该有缜密的思维，否则，那就是无稽之谈。对于抽象函数，应该灵活利用已经条件进行拆并求解）

1楼证法适合N、Z不适合R……

任取x1,x2属于R，且x1>x2，x1-x2>0
f(x2)-f(x1)=f(x1-x2)<0
所以f(x2)<f(x1)
因此：f(x)是R的单调减函数

由题：f(x+1)=f(x)+f(1) f(x+1)-f(x)=f(1)
又f(1)<0
所以 f(x+1)-f(x)<0
得证

由题意知，对任意的 x,y都满足f(x)+f(y)=f(x+y),
则取x=y=0代入得：f(0)+f(0)=f(0), 即f(0)=0；
同理取y=-x代入上式得：f(x)+f(-x)=f(0)=0,
即f(-x)=-f(x),由y的任意性知：此函数为奇函数；
又因为x>0,f(x)<0,