高二数列（答得好加分~）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/26 04:00:12
若数列{an}的极限存在，且a1=3,a（n+1）=1/2*an +1，n属于自然数，则liman=?

需要具体过程！谢谢~~

a（n+1）=1/2*an +1
a（n+1）-2=1/2(an-2)
{an-2}是一个以1为首项，1/2为公比的等比数列
（令n=1，a1-2=1，所以首项是1）
所以an-2=（1/2)^(n-1)
an=（1/2)^(n-1)+2
当n→∞
（1/2)^(n-1)→0
所以liman=2

an=1/2a(n-1)+1=1/2[1/2a(n-2)+1]+1=…={1/[2^(n-1)]*a1}+[1+1/2+…+1/2^(n-2)]
则liman=2

或者先求出an通项公式
由a(n+1)=1/2*an+1得
a(n+1)-2=1/2*an-1=1/2*(an-2)
即an-2为公比为1/2的等比数列，a1-2=1,an-2=1/2^(n-1),an=1/2^(n-1)+2
也可求出liman=2