函数f(x)图像上任意两点间割线的斜率一定介于导数的最大值与最小值之间吗？

设两点为(x1,f(x1))、(x2,f(x2))
其连线为割线，斜率为：[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)
由中值定理存在a∈(x1,x2)使得：f'(a)=[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)
显然f'(a)介于导数的最大值与最小值之间.

这个结论当然是对的

证明：
首先假设函数f(x)是处处连续可导的函数，这样讨论问题才有意义。
接下来设A（x1,y1），B（x2,y2）是曲线上的任意两点。根据拉格朗日中值定理，在[x1,x2]上必定存在一点（m,f(m)）,使得f'(m)=(y2-y1)/(x2-x1)
记点（m,f(m)）为点C，则拉格朗日中值定理的意义就是：
割线的斜率必定等于某点的切线的斜率，且该点位于两个割点之间。

那么很明显了，既然割线的斜率可以转换为某点切线的斜率，那么这个值当然在最大斜率和最小斜率之间。