已知函数f(x)的定义域为R,对于任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x＞0时,f(x)＜0,f(-1)=2

这个问题的结论很简单，f(x)=-2x，所以在[-3,3)上有最大值6，没有最小值。
但是证明过程比较罗嗦，要用Cauchy方法来证明。

1) 当x是整数时f(x)=-2x。
首先，由f(0+0)=2f(0)得到f(0)=0。
由f(0)=f(a-a)=f(a)+f(-a)得到f是奇函数。
对正整数n有f(na)=f(a)+f(a)+...+f(a)=nf(a)，f(-na)=-f(na)=-nf(a)。
故对一切整数有f(x)=-xf(-1)=-2x。

2) 当x是有理数时f(x)=-2x。
设x=p/q，p和q都是非零整数，那么qf(x)=f(qx)=f(p)=-2p，从而f(x)=-2p/q=-2x。

Cauchy方法只能证明到有理数这一步，下一步就需要用到诸如“x>0时f(x)<0”这样的条件来延拓到无理数。
3) 当x是无理数时f(x)=-2x。
假定存在无理数t使得f(t)!=-2t，不妨设f(t)<-2t(否则考察-t即可)，令
u=-(f(t)+2t)/2>0，那么在(t,t+u)之间的任何有理数w满足0<w-t<u，从而
f(w)=-2w=-2t+2(t-w)>-2t-2u=f(t)
推出f(w-t)=f(w)-f(t)>0，矛盾。

只有函数是一条递减的直线才符合题意，故无极限