证明任何正交矩阵的实特征值要么是1要么是-1

设矩阵为A(ij)
由于是正交矩阵AA(T)=I
所以A(T)=A(-1) ((T)为矩阵转置，(-1)为矩阵的逆
设A的特征值为λ(n),则A(T)的特征值为λ(n)
A(-1)的特征值为1/λ(n)
因为A(T)=A(-1) λ(n)=1/λ(n)
λ(n)^2=1
λ(n)要么是1，要么是-1

楼上回答基本正确，不过存在一个小问题：
A(T)的特征值为λ(n)
A(-1)的特征值为1/λ(n)
因为A(T)=A(-1)
所以λ(n)=1/λ(n)。这步是不严密的。
两个矩阵相等只能得到他们特征值构成的集合是相等的，而不是每个对应的特征值是相等的。
可以这么证：
设x于b分别是A的特征向量与特征值，那么Ax=bx，
在上式两边同时左乘A'(A的转置)，那么有x=Ix=A'Ax=A(bx)=b(bx)=b^2 x
从而b^2 = 1，b=正负1。

因该事把!