这种情况下是否需要支付代通知金和经济赔偿金？

这种情况是要跟公司协商解决的，如果之前没有签署任何协议的话，你就不需要支付　
代通知金和经济赔偿金。
　

经济补偿金是用人单位解除劳动合同时，给予劳动者的经济补偿。经济补偿金是在劳动合同解除或终止后，用人单位依法一次性支付给劳动者的经济上的补助。

劳动合同法第46条，有下列情形之一的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿：
第一章
劳动者依照本法第三十八条规定解除劳动合同的；
【劳动者单方解除劳动合同】用人单位有下列情形之一的，劳动者可以解除劳动合同：
1.未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件的；
2.未及时足额支付劳动报酬的；
3.未依法为劳动者缴纳社会保险费的；
4.用人单位的规章制度违反法律、法规的规定，损害劳动者权益的；
5.因本法第二十六条第一款规定的情形致使劳动合同无效的；
6.法律、行政法规规定劳动者可以解除劳动合同的其他情形。
用人单位以暴力、威胁或者非法限制人身自由的手段强迫劳动者劳动的，或者用人单位违章指挥、强令冒险作业危及劳动者人身安全的，劳动者可以立即解除劳动合同，不需事先告知用人单位。

根据劳动法规定
1在试用期间被证明不符合录用条件的；
2严重违反劳动纪律或者用人单位规章制度的；
3严重失职、营私舞弊，对用人单位利益造成造成重大损害的；
4被依法追究刑事责任的。
以上四条情况满足，单位可以不支付任何补偿金的前提下辞退员工
根据你的情况，单位是否有证据证明邮箱是你恶意篡改的？不一定只有前台可能导致密码丢失，也可能是其他电脑登陆邮箱被木马盗走。公司没有证据证明你的过错，辞退你需要提前一个月，另外你在公司工作每一年补偿一个月工资。肯定要支付经济补偿给你。

　　以下四条情况满足，单位可以不支付任何补偿金的前提下辞退员工；

1. 在试用期间被证明不符合录用条件的；

2. 严重违反劳动纪律或者用人单位规章制度的；

3. 严重失职、营私舞弊，对用人单位利益造成造成重大损害的；