设函数f(x)=根号下(x2+1)，F(x)=f(x)-ax(a>0)单调性

解：

设任意x1＞x2＞0,则：

F(x1)-F(x2)=√(x1²+1)-ax1-√(x²+1)+ax2

=(x1²-x2²)/[√(x1²+1)+√(x2²+1)]-a(x1-x2)

=(x1-x2)[(x1+x2)/(√(x1²+1)+√(x2²+1))-a]＜0

又因为x1＞x2＞0,即x1-x2＞0,

所以(x1+x2)/(√(x1²+1)+√(x2²+1))-a＜0

x1+x2＜a(√(x1²+1)+√(x2²+1))

a＞(x1+x2)/(√(x1²+1)+√(x2²+1))

因为(√(x1²+1)+√(x2²+1))＞x1+x2＞0

所以0＜(x1+x2)/(√(x1²+1)+√(x2²+1)＜1

即当a≥1时,a>(x1+x2)/[√(x1²+1)+√(x2²+1)]

此时f（x）在[0,＋∞)上是减函数

F'(x）=(x-a根号下(x2+1))/(x2+1),分母为根式，恒大于零，分子上根号下(x2+1）大于等于x的绝对值，又a>0，令x＝a根号下(x2+1），得x＝根号下a^2/（1-a^2）如果a>根号下a^2/（1-a^2），则x-a根号下(x2+1)小于零，所以分式恒小于零，所以是减函数 ；如果a<根号下a^2/（1-a^2），则当x<根号下a^2/（1-a^2）时减，在x>根号下a^2/（1-a^2）时增