点ABCD是以AB为直径的圆O上四个点,C是劣弧BD的中点,AD交BD于点E,AE=2,EC=1

“AD交BD于点E”应该是“AC交BD于点E”
（1）C是劣弧BD的中点，所以弧cd=弧cb，所以角cad=角cab
又角cdb=角cab，所以角cde=角cad，所以三角形DEC相似三角形ADC
（2）相似三角形得到cd*cd=ce*ac=3
所以cd=cb=根号3
所以直角三角形中角cab=30度=角cad
角adc=90度+30度=120度
角bad=30度+30度=60度
上面两个角互补，所以ab平行dc
所以是梯形。

要我说你这个题本身就是错的，是ac交bd于e点吧
第一个问题很简单，因为c为劣弧bd的中点，所以∠bdc与∠dac一样，
而∠dec=∠cad+∠adb，∠dac=∠bdc所以∠adc=dec
由于三个∠都一样，所以两个三角形相似
至于是不是梯形我就不知道了，因为好久没有做几何了，你告诉我怎么样才是梯形啊？给我几个梯形的条件，我可以告诉你哦~~~

解：（1）证明：∵点A是劣弧BC的中点，
∴∠ABC=∠ADB．（1分）
又∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABE∽△ADB．（2分）∴AB AE =AD AB ．∴AB2=AE•AD．（3分）
（2）解：∵AE=2，ED=4，
∵△ABE∽△ADB，∴AB AE =AD AB ，∴AB2=AE•AD，
∴AB2=AE•AD=AE（AE+ED）=2×6=12．
∴AB=2 3
（舍负）．（4分）
∵BD为⊙O的直径，
∴∠A=90°．
又∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥BD．
∴∠BDF=90°．
在Rt△ABD中，tan∠ADB=AB AD =23 6 =3 3 ，
∴∠ADB=30°．
∴∠ABC=∠ADB=30°．
∴∠DEF=∠AEB=60°，∠EDF=∠BDF-∠ADB=90°-30°=60°．