在三角形ABC中,角BAC和角ABC的角平分线AE,BE相交于点E,延长AE交三角形ABC的外接圆

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/12 06:45:06
在三角形ABC中,角BAC和角ABC的角平分线AE,BE相交于点E,延长AE交三角形ABC的外接圆于D点，连接BD,CD,CE，且角BDA=60度。
（1）求证：三角形BDE是等边三角形。

∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E
-> ∠BAE=∠EAC，∠ABE=∠EBC
延长AE交ΔABC的外接圆于点D
-> ∠EAC=∠CBD
-> ∠BAE=∠EAC=∠CBD
∠BED=∠ABE+∠BAE
∠EBD=∠EBC+∠CBD
-> ∠BED=∠EBD
∠BDA=60°
-> ∠BED=∠EBD=∠BDA=60°
-> ΔBDE为等边三角形

我开始时是正向思维，结果推了好久都没出来，于是想到了用逆向思维。
根据已知，三角形BDE是等边三角形，∠BDA=60度,
设AD与BC交于F点
1、DB=DE！ 而DE=DF+FE
2、DB/FD=1+FE/FD
AD是∠BAC的平分线，∠BAD=∠CAD，等弦对的圆周角相等，∠CAD=∠CBD，
所以△DBF相似于△DAB。
3、有DB/FD=DA/DB，FD/DB=FB/AB
4、其中DB/FD=DA/DB=(AE+ED)/DE=AE/DE+1，根据2
5、FE/FD=AE/DE，即FE/AE=FD/DE=FD/DB，根据3
6、FE/AE=FB/AB
最后一条可根据角平分线的性质得到。这个应该知道吧，不过还是给你推导一下吧。角平分线的性质还是很重要和有用的。
角平分线的性质FE/AE=FB/AB推导过程如下：
△ABF的的叫平分线BE，E在AF上，过点F作AB的平行线交BE的延长线于K点，于是∠FKE=∠ABE=∠EBF，所以FB=FC，△EFK相似于△EAB，
于是FE/AE=FK/AB=FB/AB，也就是上面的6
清楚否