急急急急...一道高二数学题、

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/04 18:37:31
F1，F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的两焦点，过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形ABF2，其中∠BAF2=90°，求椭圆离心率。

请写明过程，谢谢.

设 BF2=d
那么 BF2+BF1+AF1+AF2=4a
即 2d+根2*d=4a (1)
BF2=2a-BF1=2a-d
三角形BF1F2为直角三角形,勾股定理
(2a-d)^2+d^2=4c^2 (2)
这两个方程联立,就可以求 c/a

由(1)得 2a-d= 根2/2 * d
代入(2)得 c^2=3/8 *d^2
由(1) a^2=(6+4根2)/16 d^2
c/a = 根下( 3/(3+2根2) )=根3 / (1+根2)=根6-根3

AF2+AF1=BF2+BF1=2a
所以三角形ABF2的周长等于4a
因为∠BAF2=90°，AB=AF2,所以AB=4a/(2+根号2)
作椭圆的左准线。A点到其距离为X，B点到其距离为Y，则X=AF1,Y=BF1。
则X+Y=4a/(2+根号2)
而X+Y=2F1到准线的距离=a^2/c -c
及4a/(2+根号2)=a^2/c -c.解该方程即可